前言
「這次機會這麼好，要壓多少身家？」這是每個投資人在遇到看似穩賺的機會時,內心都會浮現的問題。壓太少,錯過難得的複利機會；壓太多,一次意外就可能傾家蕩產。這個看似憑感覺的決策,其實在數學上有一套嚴謹的解答,那就是「凱利公式」（Kelly Criterion）。
凱利公式誕生於 1956 年,由貝爾實驗室的科學家約翰・凱利（John Kelly）提出,原本是用來解決電話線路雜訊的資訊理論問題,後來被賭場高手與華爾街投資人發現,可以應用在下注與投資的資金配置上。傳奇對沖基金經理人愛德華・索普（Edward Thorp）就是靠凱利公式,先在拉斯維加斯的21點賭桌上獲利,後來把同樣的數學邏輯搬到股票市場,創立了報酬率驚人的量化基金。
對台股投資人來說,凱利公式的價值不在於要你去精算每一筆交易的機率,而在於它揭示了一個重要觀念:資金配置比例本身,就是決定長期報酬的關鍵變數,而不是只有選股或選時機。同樣的選股眼光,下注 10% 資金和下注 80% 資金,長期累積下來的財富曲線可能天差地遠。這篇文章要帶大家理解凱利公式的數學邏輯、為什麼實務上要打折扣使用「半凱利」,以及如何把這套思維應用在台股的資金管理上。
凱利公式的數學邏輯
凱利公式的基本形式如下:
f* = (bp - q) / b
其中:
- f* 是應該投入的資金比例
- b 是賠率(贏的時候賺幾倍本金)
- p 是獲勝機率
- q 是失敗機率(q = 1 - p)
我們用一個簡化的例子說明。假設你評估某檔股票有 60% 機率上漲 20%,40% 機率下跌 20%(這裡先用簡化的固定賠率模型),那麼:
- p = 0.6, q = 0.4, b = 1(賺賠幅度相同,賠率視為 1)
- f* = (1×0.6 - 0.4) / 1 = 0.2,也就是 應該投入 20% 的資金
如果換成一個勝率更高、賠率更好的機會,例如 p = 0.55(55% 機率獲勝),但獲勝時可以賺 2 倍本金(b=2),虧損時虧掉全部本金:
- f* = (2×0.55 - 0.45) / 2 = (1.1 - 0.45) / 2 = 0.325,也就是 應該投入 32.5% 的資金
從這兩個例子可以看出凱利公式的精神:下注比例應該與你的優勢(edge)成正比。優勢越大(勝率越高、賠率越好),應該投入的比例就越高;優勢越小甚至沒有優勢,凱利公式算出來的比例會趨近於零,甚至是負值——負值就代表這根本不該進場。
為什麼全額凱利太危險:波動度的代價
理論上,長期持續使用凱利公式計算出的最佳比例下注,可以讓資金以最快的幾何速度成長。但凱利公式有一個致命的實務問題:它假設你對勝率與賠率的估計是完全準確的。而在真實的股票市場中,沒有人能夠精確知道一檔股票上漲的機率究竟是 60% 還是 55%,估計值的誤差往往很大。
更麻煩的是,即使長期而言全額凱利的期望報酬最高,它的過程波動度也極高。學術研究與實務模擬都顯示,全額凱利策略在成長過程中,資產淨值可能出現超過 50% 甚至更深的回撤。對一般投資人而言,眼睜睜看著帳戶資產腰斬,即使知道長期期望值是正的,心理上也很難承受,往往會在最深的回撤點恐慌出場,反而錯失後面資金回升的機會。
這就是為什麼包括索普在內的專業操盤者,實務上幾乎不會使用「全額凱利」,而是採用「半凱利」(Half Kelly)甚至「四分之一凱利」的保守版本,也就是把公式算出來的比例打對折或更低。以下表格說明全額凱利與半凱利的差異:
| 項目 | 全額凱利 | 半凱利(實務常用) |
|---|---|---|
| 資金成長速度(理論) | 最快 | 約為全額凱利的四分之三 |
| 過程最大回撤 | 可能超過 50% | 大幅降低,約全額凱利的一半 |
| 對機率估計誤差的容忍度 | 極低,估錯就可能重傷 | 較高,估計有誤差仍相對安全 |
| 心理可承受度 | 低,多數人難以堅持 | 較高,較能長期執行 |
半凱利犧牲的成長速度,遠遠小於它換來的風險降低幅度,這也是為什麼多數採用凱利公式思維的專業投資人,最終都會選擇打折扣使用。
台股情境模擬:半導體 ETF 與個股的資金配置
假設一位投資人研究台積電(2330)的基本面與技術面後,評估未來一年上漲的機率是 55%,若上漲平均漲幅抓 25%,若下跌平均跌幅抓 15%(不是全部歸零,用實際漲跌幅模擬)。這種情況下的凱利公式需要用更完整的版本計算期望值最大化的比例,簡化估算後,大約落在 20% 到 30% 資金的區間。
但如果這位投資人把全部身家all in在單一個股上,即使勝率評估正確,一旦遇到台積電無法預期的系統性風險(例如 2022 年下半年因為聯準會升息、庫存調整導致的一波修正,台積電股價從 688 元最高點跌到 370 元左右,跌幅接近 46%),沒有分散配置的投資人很可能承受不住如此劇烈的帳面虧損,在低點恐慌賣出,把「凱利公式告訴你該進場」的優勢,活生生用錯誤的执行方式葬送掉。
比較合理的做法,是把半凱利的思維套用在台股的資金配置實務上:
情境試算:總資金 100 萬元,經過半凱利折算後,單一標的的建議部位上限抓 15%(也就是 15 萬元),而不是全額凱利算出來的 30%。剩餘資金則分散配置在其他產業(例如金融股、傳產股、ETF)或保留現金部位,等待其他不對稱機會出現。這樣的配置方式,即使台積電真的遇到系統性風險腰斬,對總資金的衝擊也只是 7% 到 8% 左右,遠比重壓單一個股的衝擊小很多。
凱利公式在 ETF 與分散投資中的應用
對於不想個別計算單一個股勝率與賠率的投資人,凱利公式的思維也可以應用在「股債配置比例」的決策上。以台灣投資人常見的 0050(元大台灣50)與債券型 ETF(如 00679B 美債 20年)的配置為例:
假設歷史數據顯示股票資產長期年化報酬約 8% 到 10%,波動度(標準差)約 18% 到 20%;債券資產長期年化報酬約 3% 到 4%,波動度約 8% 到 10%。運用簡化的凱利邏輯計算股票資產的最適配置比例,大約會落在 40% 到 60% 之間(依據不同的報酬與風險假設而有差異),這也呼應了許多資產配置理論(如「100 減年齡」法則的變形)建議中壯年投資人股票部位不宜超過六到七成的實務經驗。
半凱利的精神在資產配置上,也可以體現為「不要把雞蛋放在同一個籃子」的分散思維——即使你對某個資產類別再有信心,數學公式計算出的最適比例打折執行,永遠是控制長期波動、避免黑天鵝事件重傷資產的關鍵防線。
給台股投資人的實務建議
結合凱利公式的精神,以下提供幾點可以立即應用在台股操作上的建議:
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量化你的「優勢」,而不是憑感覺下注:在買進一檔股票前,試著寫下你評估的上漲機率與預期漲跌幅,即使無法做到精確,這個練習也能強迫你更理性地思考風險報酬比,而不是看新聞、聽明牌就重壓。
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用半凱利甚至四分之一凱利作為部位上限的天花板:即使你對某檔股票信心滿滿,單一標的的部位建議控制在總資金的 10% 到 20% 以內,保留足夠的緩衝應對估計錯誤或黑天鵝事件。
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優勢越小,部位越輕;沒有優勢,不要進場:凱利公式最重要的啟示之一,是提醒投資人誠實面對「這筆交易我真的有優勢嗎?」如果答案是不確定,那麼下注比例就該趨近於零,而不是靠感覺或消息面重押。
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定期重新評估,動態調整比例:市場情勢與個股基本面會隨時間變化,凱利公式建議的最適比例也應該隨之調整,而不是一套配置比例用到底。
結語
凱利公式最珍貴的地方,不是給投資人一個精確到小數點後兩位的下注比例答案——畢竟真實世界的機率永遠無法精確估算——而是它提供了一套嚴謹的思考框架,提醒我們資金配置比例本身就是報酬與風險的關鍵槓桿。壓太少,浪費了辛苦找到的優勢;壓太多,則可能讓一次意外抹殺長期累積的成果。
對台股投資人來說,與其執著於找到「明牌」,不如把更多心力放在思考「即使我看對了,應該投入多少資金」這個問題上。用半凱利的保守思維為部位設下天花板,才能讓資金曲線走得穩、走得遠,真正享受複利帶來的長期成長效果。